Bonheur, Étienne
Description
Ce livre est le quatrième volume d’une série qui doit, à terme, couvrir l’ensemble des notions du premier cycle universitaire en mathématiques, tout e
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n débordant largement sur le deuxième cycle. De manière plus générale, cette série d’ouvrages pourra être utile à toute personne s’intéressant aux mathématiques actuelles. Elle devrait, en théorie, être accessible même sans connaissance préalable. En effet, les mathématiques sont prises à leur début et les différents concepts progressivement construits, chaque définition, théorème et démonstration ne faisant appel qu’à ce qui a été défini précédemment.
Chaque ouvrage se veut à la fois didactique, avec des preuves très détaillées, des explications informelles, et de nombreux exemples et contre-exemples ; complet, voire encyclopédique, avec un exposé de nombreuses notions, des théorèmes tous démontrés, et de nombreux détails historiques ; synthétique, avec en particulier la volonté de multiplier les points de vue.
Les cinq premiers volumes traitent des fondements modernes des mathématiques.
Au programme de ce quatrième volume : des compléments de mathématiques discrètes : théorie des nombres, analyse combinatoire, introduction à la théorie des graphes ; des compléments sur les groupes et les anneaux ; la suite de la construction des ensembles classiques de nombres, et l’étude de leurs propriétés : ensemble Q des rationnels, ensemble R des réels (construction par les coupures de Dedekind, et par les suites de Cauchy), ensemble C des complexes ; une introduction à l'algèbre linéaire par la présentation de quelques structures (modules, espaces vectoriels, algèbres) et de quelques exemples usuels : n-listes, matrices, polynômes, séries formelles… la présentation de structures topologiques (espaces topologiques, espaces métriques, espaces vectoriels normés), et de quelques notions associées : limite, continuité, convergence de suites et séries, compacité… Le cinquième volume sera consacré à l’introduction de la théorie univalente des types (dite aussi théorie des types univalents, ou théorie homotopique des types, ou encore théorie des types d’homotopie), qui permet un fondement formel alternatif des mathématiques. Il sera par ailleurs accompagné d’une formalisation complète sur l’assistant de preuves Agda (fichiers accessibles en ligne, indépendamment du livre).
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